一元三次方程求根公式

一元三次方程求根公式

原发布者:tomy312
一元三次方程求根公式的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由

一元三次方程的根
1. 三次方程一般式：ax^3+bx^2+cx+d=0, …………………………(1)
式(1)除以a并代入x=y-b/3a，
得：y^3+3py+2q=0，………………………………………………(2)
其中：3p=(3ac-b^2)/3a^2，
2q=2(b/3a)^3-bc/(3a^2)+d/a。
2.判别式: D=q^2+p^3。
D>0：有1实根和2虚根；
D<0：有3个不等的实根；
D=0：当p=q=0时，有一个三重根；
       当p^3=-q^2≠0时，有两个实根，其中一个为重根。
3.式(2)的根
(A)卡尔丹公式法
y1=u+v；      y2= uε1+ vε2；     y3= uε2+ vε1；
其中：u=(-q+√D)^(1/3)，   v=(-q-√D)^(1/3)，   ε1,ε2=(-1±i√3)/2.
(B)辅助量法
计算  r=±√∣p∣，其符号(+,-)与q相同。
然后按下表计算y1、y2、y3。
表无法上传，见附件。
4.  x1 = y1-b/3a，   x2=y2-b/3a,    x3=y3-b/3a

应该是提取公因式（降次降为2）在求吧利用完全平方公式求吧