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标题: 一道关于二重积分的题？ [打印本页]

作者: owspace 时间: 2020-3-5 11:36
标题: 一道关于二重积分的题？
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下面是我乱做的希望大佬们帮我一下谢谢

作者: DomingoPa 时间: 2020-3-5 11:37
积分区域是一个梯形，上底y=1，下底y=t，左边是y轴，x=0；右边是y=x；
变换积分次序，先积x，后积y，这个时候，将梯形沿水平方向分成两个区，一个是左边的矩形，宽x=0~t，高y=t~1；右边倒直角三角形部分，x=t~1，y=x~1.

作者: macfensi 时间: 2020-3-5 11:38
化极坐标 D：x^2+y^2 = 4x, 化为 r = 4cost
I = ∫∫<D> (x^2+y^2)dxdy = ∫<-π/2, π/2>dt ∫<0, 4cost>r^2 rdr
= ∫<-π/2, π/2>dt [(1/4)r^4]<0, 4cost> = ∫<-π/2, π/2>64(cost)^4dt
= ∫<0, π/2>128(cost)^4dt = ∫<0, π/2>32(1+cos2t)^2dt
= 16∫<0, π/2>[2+4cos2t+2(cos2t)^2]dt = 16∫<0, π/2>(3+4cos2t+cos4t)dt
= 16[3t+2sin2t+(1/4)sin4t]<0, π/2> = 24π

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